Exercícios Resolvidos de Limites

Lista de exercícios resolvidos sobre limites: definição ε-δ, regras operacionais do limite, cálculo de limites indeterminados, limites laterais, teorema do confronto, limites no infinito e limites infinitos.
Todas as questões possuem solução, acessível por meio do link indicado junto à respectiva questão.

Cálculo de limites

1. Calcule, quando possível, os limites abaixo. Justifique quando não for possível.

$$lim_{x\to -4}\frac{x^{2}+5x+4}{x^{2}+3x-4}$$(Solução)

$$lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-1}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$$ (Solução)

$$\lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{1}}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}$$ (Solução)

$$\lim_{s\to 1}\frac{s^{3}-1}{s-1}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to -1}\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to p}\frac{\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{p^{2}}}{x-p}$$. Solução.

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}$$. Solução.

$$lim_{x\to 0}\frac{5^{x}-2}{x}$$. Solução.

$$lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{6-x}-\sqrt{3}}{3-x}$$ Solução.

$$\lim_{x\to -1}\sqrt{\frac{x³+1}{x+1}}$$. Solução.

$$\lim_{x\to 0} \frac{tg(x)}{x}$$ (Solução)

$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{sen(x)}$$. (Solução)

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{9-t}-3}{t}$$. Solução.

$$\lim_{x\to 0}\frac{sen(3x)}{x}$$ (Solução)

$$\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}$$ , $$p\neq 0$$. (Solução)

$$\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$$ , $$p\neq 0$$. (Solução)

$$\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}$$, $$p\neq 0$$. (Solução)

$$lim_{x\to 0^{+}}\frac{3^{x}-1}{x^{2}}$$. Solução.

$$lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{x}$$. Solução.

$$lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}$$. Solução.

$$lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x}$$. Solução.

2. Seja $$f$$ uma função real. Se lim_x→0 f(x)/x = 0, calcule

lim_x→0 f(3x)/x (Solução)

lim_x→1 f(x²-1)/(x-1) (Solução)

lim_x→0 f(7x)/3x (Solução)

Limites Laterais

1. Calcule, quando possível, os limites abaixo. Justifique quando não for possível

$$\lim_{x\to 1^{+}}\frac{|x-1|}{x-1}$$ (Solução)

$$\lim_{x\to 1^{-}}\frac{|x-1|}{x-1}$$ (Solução)

$$\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to 0}\frac{|x^{2}-x|}{x}$$. (Solução)

2. Prove que $$lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{1+a^{1/x}}=0$$. Solução.

3. Seja $$f(x)=\left\{\begin{array}{rc} x^{2},&\mbox{se}\quad x\geq 1,\\ 2x-1, &\mbox{se}\quad x<1. \end{array}\right. $$.Calcule $$lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$.
Solução.

4. Seja $$f(x)=\left\{\begin{array}{rc} 1-x^{2},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\ 2, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right.$$. Calcule os limites, caso existam, e, se não existirem, justifique.

$$\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$$
$$\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$$
$$\lim_{x\to 1} f(x)$$
(Solução)

Teorema do Confronto

1. Calcule, se existir, $$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$$, dado que $$|f(x)|\leq x^{4}$$. (Solução)

2. Sabendo que, para x∈[-1;1], $$\frac{sen(x)}{x}≤f(x)≤x^{2}+1$$, calcule $$lim_{x→0} ⁡f(x)$$. (Solução)

3. Calcule, se existir, $$lim_{x\to 2} g(x)$$, com $$|g(x)-3|< 5(x-2)^{2}$$. (Solução).

Definição de Limite

1. Demonstre os limites a seguir.

$$\lim_{x\to 4}(x-1)=3$$ (Solução)

$$\lim_{x\to 3}(2x+4)=10$$. (Solução)

2. Sejam duas funções (f,g), definidas nos reais, tais que , $$g(x)\neq 0$$, em todo do domínio. Suponha que $$lim_{x\to p}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$. Prove que existe um δ>0 tal que, se $$0<|x-p|<\delta$$, então $$|f(x)|<|g(x)|$$. Solução.

3. Prove pela definição que $$f(x) = 4x-3$$ é contínua em $$p=2$$. (Solução)

4. Prove pela definição que $$f(x) = \sqrt{x}$$ é contínua em $$p=4$$. (Solução)

5. Prove que a função $$f(x)=\frac{1}{x}$$ é contínua em todo $$p\neq 0$$. (Solução)

Limites Infinitos

1. Calcule, quando possível, os limites abaixo. Justifique quando não for possível

$$\lim_{x\to\infty} 2 – \frac{1}{x}$$. (Solução).

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2x+1}{x+3}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{2}-2x+3}{3x^{2}+x+1}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to\infty} x^{4}-3x+2$$. Solução.

$$\lim_{x\to\infty} 3x^{3}+2x+1$$. Solução.

$$\lim_{x\to\infty} \frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{2}+x+3}$$. (Solução).

$$lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}$$. (Solução).

$$lim_{x\to\infty}\sqrt{x^{2}+1}-x$$. (Solução)

$$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x+1} – \sqrt{x+3}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to\infty} \frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-2x+3}$$. (Solução)

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2x+3}{x+1}$$. (Solução)

Exercícios Resolvidos de Limites

Exercícios Resolvidos de Limites