Exercícios Resolvidos de Limites

Lista de exercícios resolvidos sobre limites: definição ε-δ, regras operacionais do limite, cálculo de limites indeterminados, limites laterais, teorema do confronto, limites no infinito e limites infinitos.
Todas as questões possuem solução, acessível por meio do link indicado junto à respectiva questão.

Cálculo de limites

1. Calcule, quando possível, os limites abaixo. Justifique quando não for possível.

$l i m_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} + 3 x - 4}$ (Solução)

$l i m_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 1}$ . (Solução)

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ (Solução)

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{\sqrt{x + 7} - \sqrt{14}}$ . (Solução)

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{1}}{\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{5}}$ (Solução)

$lim_{s \to 1} \frac{s^{3} - 1}{s - 1}$ . (Solução)

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1}$ . (Solução)

$lim_{x \to p} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{p^{2}}}{x - p}$ . Solução.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{1 - \sqrt{x}}$ . Solução.

$l i m_{x \to 0} \frac{5^{x} - 2}{x}$ . Solução.

$l i m_{x \to 3} \frac{\sqrt{6 - x} - \sqrt{3}}{3 - x}$ Solução.

$lim_{x \to - 1} \sqrt{\frac{x ³ + 1}{x + 1}}$ . Solução.

$lim_{x \to 0} \frac{t g (x)}{x}$ (Solução)

$lim_{x \to 0} \frac{x}{s e n (x)}$ . (Solução)

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t}$ . Solução.

$lim_{x \to 0} \frac{s e n (3 x)}{x}$ (Solução)

$lim_{x \to p} \frac{s e n (x - p)}{x - p}$ , $p \neq 0$ . (Solução)

$lim_{x \to p} \frac{t g (x - p)}{x^{2} - p^{2}}$ , $p \neq 0$ . (Solução)

$lim_{x \to p} \frac{s e n (x) - s e n (p)}{x - p}$ , $p \neq 0$ . (Solução)

$l i m_{x \to 0^{+}} \frac{3^{x} - 1}{x^{2}}$ . Solução.

$l i m_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - 1}{x}$ . Solução.

$l i m_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x}$ . Solução.

$l i m_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1}{x}$ . Solução.

2. Seja $f$ uma função real. Se lim_x→0 f(x)/x = 0, calcule

lim_x→0 f(3x)/x (Solução)

lim_x→1 f(x²-1)/(x-1) (Solução)

lim_x→0 f(7x)/3x (Solução)

Limites Laterais

1. Calcule, quando possível, os limites abaixo. Justifique quando não for possível

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{| x - 1 |}{x - 1}$ (Solução)

$lim_{x \to 1^{-}} \frac{| x - 1 |}{x - 1}$ (Solução)

$lim_{x \to 1} \frac{| x - 1 |}{x - 1}$ . (Solução)

$lim_{x \to 0} \frac{| x^{2} - x |}{x}$ . (Solução)

2. Prove que $l i m_{x \to 0^{+}} \frac{1}{1 + a^{1 / x}} = 0$ . Solução.

3. Seja $f (x) = {\begin{array}{rc} x^{2}, & se x \geq 1, \\ 2 x - 1, & se x < 1. \end{array}$ .Calcule $l i m_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ .
Solução.

4. Seja $f (x) = {\begin{array}{rc} 1 - x^{2}, & se x \neq 1, \\ 2, & se x = 1. \end{array}$ . Calcule os limites, caso existam, e, se não existirem, justifique.

$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 1^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 1} f (x)$
(Solução)

Teorema do Confronto

1. Calcule, se existir, $lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}$ , dado que $| f (x) | \leq x^{4}$ . (Solução)

2. Sabendo que, para x∈[-1;1], $\frac{s e n (x)}{x} \leq f (x) \leq x^{2} + 1$ , calcule $l i m_{x \to 0} f (x)$ . (Solução)

3. Calcule, se existir, $l i m_{x \to 2} g (x)$ , com $| g (x) - 3 | < 5 (x - 2)^{2}$ . (Solução).

Definição de Limite

1. Demonstre os limites a seguir.

$lim_{x \to 4} (x - 1) = 3$ (Solução)

$lim_{x \to 3} (2 x + 4) = 10$ . (Solução)

2. Sejam duas funções (f,g), definidas nos reais, tais que , $g (x) \neq 0$ , em todo do domínio. Suponha que $l i m_{x \to p} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ . Prove que existe um δ>0 tal que, se $0 < | x - p | < δ$ , então $| f (x) | < | g (x) |$ . Solução.

3. Prove pela definição que $f (x) = 4 x - 3$ é contínua em $p = 2$ . (Solução)

4. Prove pela definição que $f (x) = \sqrt{x}$ é contínua em $p = 4$ . (Solução)

5. Prove que a função $f (x) = \frac{1}{x}$ é contínua em todo $p \neq 0$ . (Solução)

Limites Infinitos

1. Calcule, quando possível, os limites abaixo. Justifique quando não for possível

$lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x}$ . (Solução).

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 3}$ . (Solução)

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 3}{3 x^{2} + x + 1}$ . (Solução)

$lim_{x \to \infty} x^{4} - 3 x + 2$ . Solução.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{3} + 2 x + 1$ . Solução.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x + 1}{6 x^{2} + x + 3}$ . (Solução).

$l i m_{x \to \infty} 5 - 4 x^{4} + x^{2} - x^{5}$ . (Solução).

$l i m_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x + 1}{6 x^{3} + 2}$ . (Solução).

$l i m_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 1} - x$ . (Solução)

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 3}$ . (Solução)

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 7 x - 3}{x^{4} - 2 x + 3}$ . (Solução)

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{x + 1}$ . (Solução)

Exercícios Resolvidos de Limites

Exercícios Resolvidos de Limites